円周率とは?

円周率という言葉は聞いたことがあるかな?

さすがにあるよ!馬鹿にしないでよね!?

では、円周率とは何を指しているのか、説明してくれたまへ。

・・・円の周りの長さとか面積を求めるのに使うアレでしょ?$3.14\cdots$みたいな感じの。

・・・今日はそんな人のために説明しよう。

円周率とは?

円周率とは直径に対する円周の割合

円の直径に対する円周(円の周囲の長さ)の割合を表したモノが円周率だ。なので、直径に円周率を掛けると、円周が得られる。例えば、直径$1$mの円があったとすると、円周は約$3.14$mとなる訳だ。

つまり直径の3.14倍が円周ってことでしょ?なんだ、大体あってるじゃん。

円周や面積を求めるだけが、円周率の役割とは言えない。説明としては不完全だよ、チミ。あと3.14が許されるのは小学生までだ。

円周率は「循環しない無限小数」なので、省略せずに正確に表すことは無理だ。なので記号$\pi$(パイ)を用いて表す。

なら直径1mの円なら、$\pi$m(パイメートル)ってこと?なんかキモいなぁ。

一々、「約3.14」とか「3.14・・・」とか用いなくても、円周率を一文字で正確に表現出来るのだ。なかなか便利だろう?

全ての円は相似である

円の形はどれも同じだから、違う大きさの円でも円周率は使える。なので1mの円周が$\pi$mなら、5mの円周は?

$5 \pi$mってことね!

なぜ円周率は3.14・・・?

実際に測って求める

はい、質問!円周率の3.14ナントカカントカって数字はどこからやって来たの?どうやって調べたの?

別に実際に測って調べることも出来るぞ。

直径10mmの円柱と糸

直径10mm(100mmもいいが高いぞ)の円柱と印を付けられるをホームセンターなどで買ってきたまへ。出来る限り正確な円柱を見つけてくるのだよ。あとは油性ペン物差しも用意しておくように。

1時間後・・・。

とりあえず直径10mmのステンレスの棒が売ってたから、買ってきたよ!あと裁縫用の白糸が余ってたから、これ使えないかな?

糸を円柱に巻き付けて印を付ける

よろしい、じゃあ糸を円柱に巻き付けて、油性ペンで糸に印を付けよう。

物差しで計測

あとは印を付けたところの長さを測れば、円周を測ることが出来る。だいたい3.1cm=31mmになっていることが確認できるだろう。

確かに31mmくらいになってる!すごーい!

計算で求める

何をやっているのかと思って来てみれば、またアナログなことをしているのデスナ。

体感するのも数学の醍醐味だからな。大事なことだ。別の求め方についても紹介しよう。ロボット君も手伝ってくれ。

3角形

このような図について考えて見よう。まず直径1(cmでもmでもkmでもいいぞ)の円を描く。その円の内側にピッタリと収まる三角形を描く(円に内接すると言う)。そして、こんどは円が内側にピッタリ収まるような三角形を描く(円に外接すると言う)。さて、内接する三角形の外周外接する三角形の外周、そして円周の長さを長い順に言ってくれたまへ。

外側の三角形が一番大きいから、周りの長さも一番長いはずだわ。その次がで、内側の三角形が一番短いはず・・・。どうよ!

まぁそうだな。じゃあ、この三角形を四角形にしてみよう。上の図のレバーを右に動かしてみたまへ。

すごい、四角形になった!

そのまま、どんどん右へずらしてみよう。

(パソコンを使っている人はスライダーをクリックしてから、キーボードのカーソルキー「→」で一個ずつ動かせマスヨ。)

内側外側の図形が、どんどん円に近づいていく!

図の左上にある数値に着目してくれ。変化する過程で円周は「外接する多角形の周囲」と「内接する多角形の周囲」の間にある長さというのが、分かるだろう。どんどん角を増やしていけば、より正確な円周率を特定することが出来るのだ!

おもしろーい!このまま一万角形位までやらせてよ!

それはワタシの演算能力に大変負荷が掛かるので、お断りシマス!

多角形の辺の数内接する多角形の外周外接する多角形の外周
32.5980762115.196152423
42.8284271254
52.9389262613.63271264
633.464101615
73.0371861743.371022332
83.0614674593.313708499
93.078181293.275732108
103.0901699443.249196962
1003.1410759083.142626604
10003.1415874863.141602989
100003.1415926023.141592757
1000003.1415926533.141592655
10000003.1415926543.141592654
参考までに10万角形まで計算した表

確かにこれは効率の悪い方法だ。10万角形でも小数第8位(3.14159265)までしか絞り込めない。このまま続けるとロボット君がフリーズしてしまうだろう。実は世の中にはもっと効率のよい円周率の求め方がある。

それは?

続きはWebにあるから、自分で探してくるのだ。

全部、ぶん投げたー!

(・・・ココも一応Webなのでは?)

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